初三上册数学期末试卷及答案人教版

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上）
1．同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，下列事件中是不可能事件的是（　　）
A．朝上的点数之和为13 B．朝上的点数之和为12
C．朝上的点数之和为2 D．朝上的点数之和小于3
【考点】随机事件．
【分析】依据题意同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，每个骰子上的数字是6，得出朝上的点数之和为12，进而判断即可．
【解答】解：根据同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，每个骰子上的数字是6，
故朝上的点数之和为12，
所以，朝上的点数之和为13是不可能事件，
故选：A．
【点评】本题考查了不可能事件概念，根据已知得出朝上的点数之和为12是解题关键．
　
2．点A（?1，1）是反比例函数y= 的图象上一点，则m的值为（　　）
A．0 B．?2 C．?1 D．1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】把A点的坐标代入函数解析式可求得m的值．
【解答】解：
∵点A（?1，1）是反比例函数y= 的图象上一点，
∴1= ，解得m=?1，
故选C．
【点评】本题主要考查函数图象上的点与函数的关系，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
　
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（　　）

A．55° B．70° C．90° D．110°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠ADE=180°，然后根据同角的补角相等得出∠ADE=∠B=120°．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ADE=∠B．
∵∠B=110°，
∴∠ADE=110°．
故选D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
　
4．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°
【考点】圆周角定理；正多边形和圆．
【分析】连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC=90°，再根据圆周角定理，得∠BPC=45°．
【解答】解：如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC= ∠BOC=45°．
故选A．

【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．
　
5．如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（　　）

A．6 B．8 C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】计算题．
【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到DO：BO=CD：AB，然后利用比例性质求AB．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴DO：BO=CD：AB，即3：5=4：AB，
∴AB= ．
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
　
6．从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】先从1～9这九个自然数中找出是偶数的有2、4、6、8共4个，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：1～9这九个自然数中，是偶数的数有：2、4、6、8，共4个，
∴从1～9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是： ．
故选：B．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
7．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【考点】相似三角形的性质．
【分析】依据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：△ADE与△ABC的面积比为（1：2）2=1：4．
故选B．
【点评】本题主要是考查对于相似三角形的面积比等于相似比的平方．
　
8．为了估计池塘中鱼的数量，老张从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归池塘，过了一段时间，他再从池塘中随机打捞60条鱼，发现其中有15条鱼有记号，则池塘中鱼的条数约为（　　）
A．300 B．400 C．600 D．800
【考点】用样本估计总体．
【分析】首先求出有记号的15条鱼在60条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：由题意可得：100÷ =400（条）．
答：池塘中鱼的条数约为400条．
故选：C．．
【点评】本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．
　
9．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（?3，0），对称轴为直线x=?1，下列结论：
①b2＞4ac；
②2a+b=0；
③a+b+c＞0；
④若B（?5，y1）、C（?1，y2 ）为函数图象上的两点，则y1＜y2．
其中正确结论是（　　）

A．②④ B．①③④ C．①④ D．②③
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴x=? 、△=b2?4ac的取值与抛物线与x轴的交点的个数关系、抛物线与x轴的交点与对称轴的关系及抛物线的特征进行分析判断．
【解答】解：①由函数的图形可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2?4ac＞0，即：b2＞4ac，故结论①正确；
②∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=?1，
∴? =?1
∴2a=b，即：2a?b=0，故结论②错误．
③∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（?3，0），对称轴为直线x=?1，
∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为（1，0），
∴当x=1时，有a+b+c=0，故结论③错误；
④∵抛物线的开口向下，对称轴x=?1，
∴当x＜?1时，函数值y随着x的增大而增大，
∵?5＜?1则y1＜y2，则结论④正确
故选
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系问题，解题的关键是理解并熟记抛物线的开口、顶点坐标、对称轴、与x轴的交点、与y轴的交点坐标与a、b、c的关系．
　
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，且与y轴交于点B，过点B作直线BC平行于x轴，点M（a，1）在直线BC上，若在⊙O上存在点N，使得∠OMN=45°，则a的取值范围是（　　）

A．?1≤a≤1 B．? C． D．
【考点】圆的综合题．
【分析】由题意得出∠OBM=90°，当BM=OB=1时，△OBM是等腰直角三角形，则∠OMN=45°，此时a=±1；当BM＞OB时，∠OMN＜45°，即可得出结论．
【解答】解：∵点M（a，1）在直线BC上，
∴OB=1，
∵BC∥x轴，
∴BC⊥y轴，
∴∠OBM=90°，
当BM=OB=1时，△OBM是等腰直角三角形，
则∠OMN=45°，
此时a=±1；
当BM＞OB时，∠OMN＜45°，
∴a的取值范围是?1≤a≤1；
故选：A．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质等知识；熟练掌握元的性质和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．
　
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上）
11．将函数y=2x2?1的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为　y=（x?1）2?1　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定二次函数y=2x2?1的顶点坐标为（0，?1），再把点（0，?1）向上平移1个单位长度得到点的坐标为（1，?1），然后根据抛物线的顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：二次函数y=2x2?1的顶点坐标为（0，?1），把点（0，?1）向上平移1个单位长度得到点的坐标为（1，?1），所以所得的图象解析式为y=（x?1）2?1．
故答案为：y=（x?1）2?1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
　
12．两个同学玩“石头、剪子、布”游戏，两人随机同时出手一次，平局的概率为　 　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人随机同时出手一次，平局的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，平局的结果数为3，
所以两人随机同时出手一次，平局的概率= = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
　
13．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是　6　．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据扇形的面积公式S= ，得R= ．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
R= = =6，
故答案为6．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式．
　
14．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ?2 ?1 0 1 2 …
y … ?3 ?4 ?3 0 5 …
则此二次函数的对称轴为　x=?1　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】观察表格发现函数的图象经过点（?2，?3）和（0，?3），根据两点的纵坐标相同，说明两点关于对称轴对称，从而求解．
【解答】解：观察表格发现函数的图象经过点（?2，?3）和（0，?3），
∵两点的纵坐标相同，
∴两点关于对称轴对称，
∴对称轴为：x= =?1，
故答案为：x=?1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，了解（?2，?3）和（0，?3）两点关于对称轴对称是解决本题的关键．
　
15．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，BD=4，则AC的长为　6　．

【考点】垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理．
【分析】根据垂径定理求出BC，根据圆周角定理求出∠C=90°，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：∵OD⊥BC，OD过O，BD=4，
∴BC=2BD=8，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
在Rt△ACB中，AB=10，BC=8，由勾股定理得：AC= =6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．
　
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC=　1：2　．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△DCF，
∴ ，
∵点E是边AD的中点，
∴DE=AE= AD= BC，
∴ ．
故答案为：1：2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．
　
17．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为　y=? 　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案．
【解答】解：过A点向x轴作垂线，如图：

根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为3，即|k|=3，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k=?3，即函数解析式为：y=? ．
故答案为：y=? ．
【点评】此题考查了反比例函数的几何意义，解答本题关键是掌握在反比例函数中k所代表的几何意义，属于基础题，难度一般．
　
18．点 P（m，n）是反比例函数 y= 图象上一动点，当n+3=2m时，点P恰好落在抛物线y=x2?2x?3上，则k的值等于　20　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及n+3=2m，即可得出关于k、m、n的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：由已知得： ，
解得： 或 （舍去）．
故答案为：20．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及解三元一次方程组，解题的关键是找出关于k、m、n的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数与二次函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键．
　
三．解答题（本大题共10小题，共96分，请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（Ⅰ）求这个函数的解析式；
（Ⅱ）判断点B（?1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（Ⅲ）当?3＜x＜?1时，求y的取值范围．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．
（Ⅱ）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图象上；
（Ⅲ）根据反比例函数图象的增减性解答问题．
【解答】解：（Ⅰ）∵反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），
∴把点A的坐标代入解析式，得
3= ，
解得，k=6，
∴这个函数的解析式为：y= ；
（Ⅱ）∵反比例函数解析式y= ，
∴6=xy．
分别把点B、C的坐标代入，得
（?1）×6=?6≠6，则点B不在该函数图象上．
3×2=6，则点C在该函数图象上；
（Ⅲ）∵当x=?3时，y=?2，当x=?1时，y=?6，
又∵k＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当?3＜x＜?1时，?6＜y＜?2．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征．用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
　
20．已知二次函数 y=a（x?1）2?4 的图象经过点（0，?3）．
（1）求这个二次函数的函数解析式；
（2）当x取何值时，函数y的值随着 x 的增大而增大；
（3）当x取何值时，函数的值为 0．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）二次函数 y=a（x?1）2?4 的图象经过点（0，?3），可以求得a的值，从而可以求得这个二次函数的解析式；
（2）根据（1）中的结果可以求得当x取何值时，函数y的值随着 x 的增大而增大；
（3）将y=0代入（1）中的解析式，可以求得x的值．
【解答】解：（1）因为二次函数 y=a（x?1）2?4 的图象经过点（0，?3），
∴?3=a（0?1）2?4，得a=1，
即这个二次函数的解析式是：y=（x?1）2?4；
（2）∵y=（x?1）2?4，1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；
（3）将y=0代入y=（x?1）2?4，得
0=（x?1）2?4，
解得，x1=?1，x2=3，
即当x=?1或x=3时，函数的值为 0．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
　
21．在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．

【考点】作图-位似变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点位置；
（2）利用所画图形得出对应点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．

【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
　
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A（1，0），与反比例函数y= （ x＞0）的图象相交于点B（m，1）．
①求m的值和一次函数的解析式；
②结合图象直接写出：当x＞0 时，不等式kx+b＞ 的解集．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出m值，由此即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标即可得出不等式的解集．
【解答】解：（1）∵点B（m，1）在反比例函数y= （ x＞0）的图象上，
∴1= ，
∴m=2．
将点A（1，0）、B（2，1）代入y=kx+b 中，
得： ，解得： ，
∴一次函数的解析式为y=x?1．
（2）观察函数图象发现：在第一象限内，当x＞2时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴当x＞0 时，不等式kx+b＞ 的解集为x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
　
23．某商场购进一批日用品，若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）若这批日用品购进时单价为4元，则当销售价格定为多少时，才能使每月的利润？每月的利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；
（2）根据“利润=（售价?成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其值．
【解答】解：（1）由题意，可设y=kx+b（k≠0），
把（5，30000），（6，20000）代入得： ，
解得： ，
所以y与x之间的关系式为：y=?10000x+80000；
（2）设利润为W元，则W=（x?4）（?10000x+80000）
=?10000（x?4）（x?8）
=?10000（x2?12x+32）
=?10000[（x?6）2?4]
=?10000（x?6）2+40000
所以当x=6时，W取得值，值为40000元．
答：当销售价格定为6元时，每月的利润，每月的利润为40000元．
【点评】本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识．
　
24．如图，为了测量学校教学楼的高度，王芳同学在她的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．如果王芳同学的身高是1.55m，她估计自己的眼睛距地面 AB=1.50m，同时量得 BE=30cm，BD=2.3m，这栋楼CD有多高？

【考点】相似三角形的应用．
【专题】应用题．
【分析】先计算出DE=BD?BE=2m，再利用入射角与反射角的关系得到∠AEB=∠CED，则可判断△ABE∽△CDE，然后利用相似比得到 = ，再利用比例性质求出CD即可．
【解答】解：根据题意得AB=1.50m，BE=0.3m，DE=BD?BE=2.3m?0.3m=2m，
∵∠AEB=∠CED，
而∠ABE=∠CDE=90°，
∴△ABE∽△CDE，
∴ = ，即 = ，
∴CD=10（m）．
答：这栋楼CD有10m高．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
　
25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以CD为直径作⊙O，交边AC于点P，连接BP，交AD于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果PB是⊙O的切线，BC=4，求PE的长．

【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质由AB=AC，点D是边BC的中点得到AD⊥BC，然后根据切线的判定定理即可得到AD是⊙O的切线；
（2）连结OP，由于AD是⊙O的切线，PB是⊙O的切线，根据切线长定理得PE=DE，根据切线的性质得OP⊥PE，易证得△BDE∽△BPO，则 ，由于BC=4，得到CD=BD=2，则OP=1，OB=3，利用勾股定理计算出BP= =2 ，然后利用相似比可计算出DE= ，所以PE= ．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：连结OP，如图，
∵AD是⊙O的切线，PB是⊙O的切线，
∴PE=DE，OP⊥PE，
∴∠BPO=90°，
∴∠BPO=∠ADB=90°，
而∠DBE=∠PBO，
∴△BDE∽△BPO，
∴ ，
∵BC=4，
∴CD=BD=2，
∴OP=1，OB=3，
∴BP= = =2 ，
∴DE= = ，
∴PE=DE= ．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质．
　
26．王平同学为小明与小丽设计了一种游戏．游戏规则是：取 3 张数字分别是 2、3、4 的扑克 牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再按原样放回，洗匀后第二次再随机抽出一张牌记下数字，若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小明 胜；若两数字之和为奇数，则小丽胜．问这种游戏规则公平吗？请通过画树状图或列表说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：如图所示：

对游戏树形图如图，所有可能出现的结果共有9种，其中两数字之和为偶数的有5种，所以游戏小明获胜的概率为 ，
而小丽获胜的概率为 ，即游戏对小明有利，获胜的可能性大于小丽．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
27．（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若 AD=8，AB=12，求 的值．

【考点】相似形综合题．
【专题】综合题；图形的相似．
【分析】（1）由AC平分∠DAB，得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形ADC与三角形ACB相似，由相似得比例即可得证；
（2）由E为AB中点，三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AE=CE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；
（3）由CE与AD平行，得到两对内错角相等，进而得到三角形ECF与三角形ADF相似，由相似得比例求出AF的长，即可确定出所求式子的值．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴ = ，
则AC2=AB•AD；
（2）证明：∵CE为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CE=AE=BE= AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠ACE=∠DAC，
∴CE∥AD；
（3）解：∵AC2=AB•AD，AB=12，AD=8，
∴AC=4 ，CE=6，
∵CE∥AD，
∴∠ECF=∠FAD，∠CEF=∠FDA，
∴△ECF∽△DAF，
∴ = = ，即 = ，
解得：CF= ，
∴AF=AC?CF=4 ? = ，
则 = = ．
【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形的中线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
28．抛物线y= x2? x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，点P为抛物线上一动点，过点P作PQ平行BC交抛物线于Q，P、Q两点间距离为m
（1）求BC的解析式；
（2）取线段BC中点M，连接PM，当m最小时，判断以点P、O、M、B为顶点的四边形是什么四边形；
（3）设N为y轴上一点，在（2）的基础上，当∠OBN=2∠OBP时，求点N的坐标．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线的性质先确定出点A，B，C的坐标，即可求出直线BC解析式，
（2）先判断出m最小时，直线PQ和抛物线只有一个交点，进而得出点P的坐标，再利用两点间的距离公式得出BM=OP=OM即可判断出四边形POMB是菱形．
（3）②先确定出直线PQ解析式，进而判断出直线PQ过点O，即可得出OP∥BC，再用角平分线定理即可得出点N的坐标，
②借助①得出的点N的坐标和对称性即可得出y轴正半轴上的点N的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y= x2? x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，
∴C（0，2），
令y=0，则0= x2? x+2，∴x=1或x=4，
∴A（1，0），B（4，0），
∴直线BC解析式为y=? x+2，
（2）四边形POMB是菱形，
理由：如图，

∵P、Q两点间距离为m，且m最小，即：m=0，此时直线PQ和抛物线只有一个交点，
∵PQ平行BC，∴设直线PQ解析式y=? x+b①，
∵y= x2? x+2②，
联立①②得，x2?4x+4?2b=0，
∴△=16?4（4?2b）=0，∴b=0，
∴直线PQ解析式为y=? x，P（2，?1），
∴直线PQ过原点，
∴OP∥BM，
∴OP= = ，
∵B（4，0），C（0，2），取线段BC中点M，
∴M（2，1），
∴BM= = ，
∴OP=BM，
∵OP=BM，
∴四边形POMB是平行四边形，
∵OM= = ，
∴OP=OM，
∴平行四边形POMB是菱形；
（3）由（2）知，B（4，0），P（2，?1），
∴直线BP解析式为y= x?2，
∴H（0，?2）
①当点N在y轴负半轴上时，
∵∠OBN=2∠OBP，
∴BP是∠OBN的角平分线，
∴ ，
设N（0，n），
∵B（4，0），
∴OB=4，OH=2，NK=?2?n，BN= ，
∴ ，
∴n=0（舍）或n=? ，
∴N（0，? ），
②当点N在y轴正半轴时，由对称性得出，N（0， ）
即点N的坐标为N（0，? ）和（0， ）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，平行线的性质，待定系数法确定直线解析式，角平分线定理，解本题的关键是确定出点P的坐标．

好消息：广东地区未达到普高分数线的同学，可点击下方按钮咨询客服，就有机会报读高职高考班，获取职校报考全日制大专、本科名额！

在线咨询