北师大版初三数学模拟试卷附答案

第Ⅰ卷(选择题 共45分)
一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).
1.如果+30 m表示向东走30 m，那么向西走40 m表示为( )
A.+40 m B.-40 m C.+30 m D.-30 m
2.若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=-10，则ab的值是( )
A.-2 B.2 C.-50 D.50
3.图中几何体的主视图是( )
4.英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖.石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为( )
A.0.34×10-9 B.3.4×10-9
C.3.4×10-10 D.3.4×10-11
5.已知圆锥的底面半径为6 cm，高为8 cm，则这个圆锥的母线长为( )
A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm
6.如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为( )
7.假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
8.某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1 225元，设其中有x张成人票，y张儿童票.根据题意，下列方程组正确的是( )
9.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )
A.18° B.24° C.30° D.36°
10.如图，已知等腰梯形ABCD的底角∠B=45°，高AE=1，上底AD=1，则其面积为( )
A.4 B. C.1 D.2
11.如图，数轴上a,b两点表示的数分别为和-1,点a关于点b的对称点为c，则点c所表示的数为( )
12.如图，A、B、C是反比例函数(x<0)图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3∶1∶1，则满足条件的直线l共有
( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
13.在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额(单位：元)如下表所示：
这8名同学捐款的平均金额为( )
A.3.5元 B.6元 C.6.5元 D.7元
14.已知关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是( )
A.-2≤a-1 B.-2≤a<-1 C.-2

15.如图，直线l:y=-x-与坐标轴交于A、C两点，过A、O、C三点作⊙O1，点E为劣弧上一点，连接EC、EA、EO，当点E在劣弧上运动时(不与A、O两点重合)，的值是( )
A. B. C.2 D.变化的
第Ⅱ卷(非选择题 共75分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中的横线上.)
16.分解因式：(a+2)(a-2)+3a=________.
17.已知点P(3，-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b，1-b)，则ab的值为_________.
18.如图，两建筑物的水平距离BC为18 m，
从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点
的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为___
_____ m(结果不作近似计算).
19.三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=8 cm，EG=12 cm，∠EGF=
30°，则AB的长为______cm.
20.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°，连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°;…，按此规律所作的第n个菱形的边长为_______.
21.如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是________.
三、解答题(本大题共7个小题，共57分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.)
22.(本小题满分7分)
(1)化简
(2)解方程：
23.(本小题满分7分)
(1)如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D.
求证：△ABC≌△AED.
(2)如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF.
求证：AE=CF.
24.(本小题满分8分)
五一期间某校组织七、八年级的同学到某景点郊游，该景点的门票全票票价为15元/人，若为50～99人可以八折购票，100人以上则可六折购票.已知参加郊游的七年级同学少于50人、八年级同学少于100人.若七、八年级分别购票，两个年级共计应付门票费1 575元，若合在一起购买折扣票，总计应付门票费1 080元.
(1)请你判断参加郊游的八年级同学是否也少于50人.
(2)求参加郊游的七、八年级同学各为多少人?
25.(本小题满分8分)
某市某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A(优)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级，现从中抽取了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出如图所示的统计图，已知图中从左到右的四个长方形的高的比为：14∶9∶6∶1，评价结果为D等级的有2人，请你回答以下问题：
(1)共抽取了多少人?
(2)样本中B等级的频率是多少?C等级的频率是多少?
(3)如果要绘制扇形统计图，A、D两个等级在扇形统计图中所占的圆心角分别是多少度?
(4)该校九年级的毕业生共300人，假如“综合素质”等级为A或B的学生才能报考示范性高中，请你计算该校大约有多少名学生可以报考示范性高中?
26.(本小题满分9分)
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB.
(1)求证：直线BF是⊙O的切线;
(2)若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长;
(3)填空：在(2)的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为_________.
27.(本小题满分9分)
已知，如图二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4)与x轴交于点A、B，点B(4,0)，抛物线的对称轴为x=1.直线AD交抛物线于点D(2,m).
(1)求二次函数的解析式并写出D点坐标;
(2)点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标;
(3)抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标.
28.(本小题满分9分)
如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，
点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，
交过C的直线于点F，∠1=∠2，连接CB
与DG交于点N.
(1)求证：CF是⊙O的切线;
(2)求证：△ACM∽△DCN;
(3)若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=14，求BN的长.
参考答案
1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.B 9.A
10.D 11.A 12.A 13.C 14.C 15.A
16.(a-1)(a+4) 17.-10 18. 19.6 20.
21.
22.(1)解：原式=
(2)解：原方程可化为3x+2=8+x,
合并同类项得：2x=6,
解得：x=3.
23.(1)证明：∵∠1=∠2,
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,
即∠BAC=∠EAD.
∵在△ABC中和△AED中，
∴△ABC≌△AED(AAS)
(2)证明：∵BE=DF,
∴BE-EF=DE-EF,∴DE=BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADE=∠CBF,
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴AE=CF.
24.解：(1)全票为15元，则八折票价为12元，六折票价为9元.
∵100×15=1 500<1 575,
∴参加郊游的七、八年级同学的总人数必定超过100人,
∴由此可判断参加郊游的八年同学不少于50人.
(2)设七、八年级参加郊游的同学分别有x人、y人.
由(1)及已知可得，x<50,50
依题意可得：
解得:
答：参加郊游的七、八年级同学分别为45人和75人.
25.解：(1)D等级所占比例为：
则共抽取的人数为：
(2)样本中B等级的频率为：
C等级的频率为：
(3)样本中A等级在扇形统计图中所占圆心角度数为：
×360=168(度);
D等级在扇形统计图中所占圆心角度数为：
×360=12(度).
(4)可报考示范性高中的总人数：
300×=230(名).
26.(1)证明：∵∠CBF=∠CFB，
∴BC=CF.
∵AC=CF，
∴AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC.
在△ABF中，∠ABC+∠CBF+∠BAF+∠F=180°,
即2(∠ABC+∠CBF)=180°,
∴∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF是⊙O的切线;
(2)解：连接BD.
∵点D，点E是弧AB的三等分点，AB为直径，
∴∠ABD=30°，∠ADB=90°，∠A=60°.
∵AD=5，∴AB=10，
27.解：(1)设二次函数的解析式为:y=ax2+bx+c.
∴点D的坐标为(2，4);
(2)作DG垂直于x轴，垂足为G，因为D(2，4)，B(4，0)，
由勾股定理得:BD=
∵E是BD的中点，
∴BE=.
(3)如图，由A(-2,0),D(2,4)，可求得直线AD的解析式为：y=x+2，则点F的坐标为：F(0,2).
过点F作关于x轴的对称点F′，即F′(0,-2)，连接CD，再连接
DF′交对称轴于M′，交x轴于N′.由条件可知，点C，D关于对称
轴x=1对称，
∴DF′=F′N′=FN′，DM′=CM′，
∴CF+FN′+M′N′+M′C=CF+DF′=
∴四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C=
即四边形CFNM的最短周长为：
此时直线DF′ 的解析式为：y=3x-2，
所以存在点N的坐标为点M的坐标为(1，1)使四边形CMNF周长取最小值.
28.(1)证明：∵△BCO中，BO=CO，
∴∠B=∠BCO，
在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCO=90°，
即∠FCO=90°，
∴CF是⊙O的切线;
(2)证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=∠FCO=90°，
∴∠ACB-∠BCO=∠FCO-∠BCO，
即∠ACO=∠1，
∴∠ACO=∠2，
∵∠CAM=∠D，
∴△ACM∽△DCN;
(3)解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，
在Rt△COE中，cos∠BOC=，
∴OE=CO·cos∠BOC=4×=1，
由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴由垂径定理得：CD=2CE=，
∵△ACM∽△DCN，

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